EULER SIMPLE

HEUN

Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación y promediado de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el punto final).

En el método de Euler, la pendiente al inicio del intervalo se usa para extrapolar linealmente a y_i+1.

En el método de Heun la pendiente calculada en la estimación previa no es para la respuesta final, sino para una predicción intermedia. Esta ecuación es llamada predictor. Mejora una estimación de y_i+1 que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo.

Aquí, y⁰_i+1 es el predictor, y es la misma ecuación de Euler para encontrar y_i+1. Ésta nos sirve para calcular la pendiente y^'_i+1.

Las dos pendientes se promedian en el intervalo:

Esta pendiente promedio se utiliza para extrapolar linealmente desde y_i hasta y_i+1 usando el método de Euler.

Esta ecuación es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimiento predictor – corrector.

Se puede conseguir una mejor precisión en el resultado si hacemos varios procesos correctores, esto lo logramos tomando y_i+1 y reemplazándolo por y⁰_i+1 en la ecuación y así encontrar un nuevo y_i+1, y se repite el proceso hasta donde se desee.

Metodo de Romberg

En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:

usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.

Como ejemplo, la se integra la función gaussiana en el intervalo [O,1], esto es la función error evaluada en 1, cuyo valor es


Se calculan los elementos de la matriz triangular fila a fila, terminando los cálculos cuando la diferencia entre las dos últimas filas es menor que 1E-8.

 0.77174333
0.82526296  0.84310283
0.83836778  0.84273605  0.84271160
0.84161922  0.84270304  0.84270083  0.84270066
0.84243051  0.84270093  0.84270079  0.84270079  0.84270079

El resultado en la esquina inferior derecha de la matriz triangular es el resultado correcto con la precisión deseada. Nótese que este resultado se deriva de aproximaciones mucho peores obtenidas con la regla del trapecio mostradas aquí en la primera columna de la matriz triangular.