Interpolacion por diferencias divididas de Newton

El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, (X0,Y0),(X1,Y1) obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos.

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , f (X) la pendiente (y1-y0)/(x1-x0) que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de f (x) con x variando en el intervalo [X1,X0]

En el caso de tres puntos (X0,Y0),(S1,Y1),(X2,Y2) en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma

Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando b1,b2 y b3 se obtiene:

Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:

Donde f [x1] = y1 para i= 0,1,2 En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores

b0,b1 y b2

A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos (1,4) ,(3,1),(4.5,5) y (7,3) El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:

Se concluye entonces que

Polinomio de Lagrange

s numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Elegiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.

Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos

x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) = 0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es:

Tomando los valores de la abscisa el polinomio qued asi