EULER SIMPLE

HEUN

Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación y promediado de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el punto final).

En el método de Euler, la pendiente al inicio del intervalo se usa para extrapolar linealmente a y_i+1.

En el método de Heun la pendiente calculada en la estimación previa no es para la respuesta final, sino para una predicción intermedia. Esta ecuación es llamada predictor. Mejora una estimación de y_i+1 que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo.

Aquí, y⁰_i+1 es el predictor, y es la misma ecuación de Euler para encontrar y_i+1. Ésta nos sirve para calcular la pendiente y^'_i+1.

Las dos pendientes se promedian en el intervalo:

Esta pendiente promedio se utiliza para extrapolar linealmente desde y_i hasta y_i+1 usando el método de Euler.

Esta ecuación es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimiento predictor – corrector.

Se puede conseguir una mejor precisión en el resultado si hacemos varios procesos correctores, esto lo logramos tomando y_i+1 y reemplazándolo por y⁰_i+1 en la ecuación y así encontrar un nuevo y_i+1, y se repite el proceso hasta donde se desee.

Metodo de Romberg

En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:

usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.

Como ejemplo, la se integra la función gaussiana en el intervalo [O,1], esto es la función error evaluada en 1, cuyo valor es


Se calculan los elementos de la matriz triangular fila a fila, terminando los cálculos cuando la diferencia entre las dos últimas filas es menor que 1E-8.

 0.77174333
0.82526296  0.84310283
0.83836778  0.84273605  0.84271160
0.84161922  0.84270304  0.84270083  0.84270066
0.84243051  0.84270093  0.84270079  0.84270079  0.84270079

El resultado en la esquina inferior derecha de la matriz triangular es el resultado correcto con la precisión deseada. Nótese que este resultado se deriva de aproximaciones mucho peores obtenidas con la regla del trapecio mostradas aquí en la primera columna de la matriz triangular.

Interpolacion por diferencias divididas de Newton

El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, (X0,Y0),(X1,Y1) obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos.

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , f (X) la pendiente (y1-y0)/(x1-x0) que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de f (x) con x variando en el intervalo [X1,X0]

En el caso de tres puntos (X0,Y0),(S1,Y1),(X2,Y2) en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma

Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando b1,b2 y b3 se obtiene:

Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:

Donde f [x1] = y1 para i= 0,1,2 En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores

b0,b1 y b2

A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos (1,4) ,(3,1),(4.5,5) y (7,3) El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:

Se concluye entonces que

Polinomio de Lagrange

s numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Elegiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.

Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos

x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) = 0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es:

Tomando los valores de la abscisa el polinomio qued asi

Metodo de la Secante

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla.por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

El método se define por la relación de recurrencia:

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.masiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula.

El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es donde

es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson. En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

Metodo de Newton-Raphson

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

Supóngase f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' es la derivada de f.


Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.
Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustando la convergencia cuadrática.